해석학의 아버지, 레온하르트 오일러

작성자 신혁교

나는 '장애를 딛고 노력으로 극복해낸 위인'을 생각하면 헬렌 켈러보다 먼저 떠오르는 사람이 있다. 바로 '레온하르트 오일러'로, 필자가 가장 존경하는 수학자이다. 해석학의 아버지, 희대의 알고리스트인 인류 역사상 가장 위대한 수학자에 대해 조금이나마 언급해보고자 한다.

레온하르트 오일러(Leonhard Euler)

(1707.4.15~1783.9.18)

스위스 바젤에서 태어나 독일, 러시아를 무대로 활약하였다. 13세에 바젤 대학에 입학하여 처음에는 목사가 되기 위해 신학과 헤브라이어를 공부하였으나, 수학에서 요한 베르누이의 관심을 끌어 곧 다니엘 베르누이, 니콜라스 베르누이와 사귀었다. (여기서 베르누이 가문은 수학 역사상 가장 뛰어난 가문으로 꼽히는 가문으로, 수학뿐만 아니라 법률, 문학, 예술 분야에도 100명이 넘는 학자들을 배출했다고 한다)

왼쪽부터 요한 베르누이, 다니엘 베르누이, 야곱 베르누이

그의 연구는 수학, 천문학, 물리학 분야에 국한되지 않고, 의학, 식물학, 화학 등 많은 분야에 광범위하게 걸쳐있다. 그는 집념이 강하고 연구에 집착하는 경향이 있어 연구에 온 힘을 쏟았으나 그 정도가 심해 1735년, 28살의 젊은 나이로 오른쪽 눈의 시력을 잃었다. 그 이후에도 하루 20시간 이상씩 연구를 하여 몸을 혹사시키는 습관을 버리지 못해 결국 백내장으로 남은 눈의 시력마저 잃고 맹인이 되어버렸다.

하지만 오일러는 자신의 장애에 굴하지 않고 오히려 그것을 극복하며 연구를 계속해나갔다. 실제로 맹인이 되고나서 낸 논문의 양이 그 전에 집필한 논문보다 훨씬 많다고 한다. 물론 그 모든 계산은 암산으로 처리하였다. (유명한 일화로는 오일러가 맹인이 되고 한 말인 “이제 양쪽 눈 시력이 같아졌으니 덜 헷갈리겠군.”이 있다. 오일러가 엄청난 긍정 마인드의 소유자라는 것을 알 수 있는 일화이다.)

오일러가 천재라고 불리는 이유로 몇 가지를 들 수 있는데, 그 중 하나는 그의 엄청난 기억력과 계산력이다. 그는 어마어마한 양의 소수표를 머릿속에 통째로 집어넣어두며, 제곱, 세제곱, 네제곱, 다섯제곱, 여섯제곱까지 암산으로 풀 정도의 계산력을 가지고 있었다. 두 번째로 그의 예리한 직관력은 상상을 초월한다. 차례대로 목표를 찾아나가는 일반적인 수학자의 연구과정과는 달리, 그는 한순간에 요점을 찌르는 등의 연구를 하였다. 실제로 그가 예측한 내용이 현대에 와서 들어맞는 사례를 많이 찾아볼 수 있다.

오일러는 야채를 기르는 단순한 즐거움과 13명이나 되는 자녀에게 이야기를 들려주는 것을 즐기는 사람이었다. 1783년 9월 18일, 오일러는 여느 때와 같이 어린 손자들을 놀아주다가 ‘나는 이제 죽는다.’는 말을 남기고 76세의 나이로 세상을 떠났다. 희대의 천재에게 참으로 차분한 최후였다.

스위스 10프랑 지폐에 인쇄되어 있는 오일러의 사진

그는 평생 동안에 500편 이상의 저서와 논문을 출판하였고, 현재까지 나온 전집은 75권에 달한다. 생애를 통해 그가 쓴 논문의 분량은 연평균 약 800쪽이 되는 셈이다. 그의 업적은 엄청나게 방대하여 이곳에 다 적기에는 여백이 부족할 정도인데, 그 중 유명한 업적 몇 가지를 소개해보도록 하겠다.

1. 많은 수학 기호들을 정리

우리가 수학시간에 배우고, 흔히 사용하는 당연한 기호들에는 오일러의 업적이 숨어있다.

"원주율 3.141592... = π(파이)라고 표기

자연로그의 밑 2.718281... = e라고 표기

삼각함수의 기호를 sin, cos, tan라고 표기

x의 함수를 f(x)라고 표기

허수 단위의 기호를 i라고 표기

합을 나타내는 기호로 Σ를 도입

삼각형의 세 각을 A, B, C라 하고, 그 대변을 a, b, c라고 표기

내접원의 반지름을 r, 외접원을 반지름을 R로 표기

삼각형 둘레의 절반을 s라고 표기"

오일러의 표기법이 널리 통용된 이유로는 편리하기도 하지만 그가 교과서를 저술했던 학자였기도 하기 때문이다.

2. 오일러의 다면체 정리

구와 연결 상태가 같은 다면체에서 꼭짓점의 개수를 v, 모서리의 개수를 e, 면의 개수를 f라고 하면 다음과 같은 등식이 성립한다.

"v-e+f=2"

3. 쾨니히스베르크의 다리

우리가 흔히 '한붓그리기'로 알고 있는 이 문제는 쾨니히스베르크(현재 러시아의 칼라닌그란드)라는 도시에 있는 다음과 같은 7개의 다리에서 한 다리를 두 번 이상 건너지 않고 모든 다리를 건널 수 있는지에 대한 여부를 묻는 내용이다.

이 당시 맹인이었던 오일러는 이 문제를 듣고는 한 순간의 망설임 없이 ‘불가능하다’라는 답변을 내놓았다. 그는 강이나 다리와 같은 복잡한 요소들을 연결 상태가 같도록 단순화하였다. 강으로 나누어진 육지는 점으로 표시하고, 다리는 그 점들을 잇는 선으로 표시하였다.

모든 꼭짓점에 연결된 변의 개수가 짝수인 점을 짝수점, 홀수인 점을 홀수점이라 하고, 홀수점이 없을 경우에 그 그래프는 어떤 점에서 출발하더라도 한붓그리기가 가능하며(오일러 회로) 홀수점의 개수가 2개인 그래프는 한 홀수점에서 출발해 다른 홀수점에서 끝나도록 한붓그리기가 가능하다(오일러 경로)는 결론을 내놓았다. 쾨니히스베르크의 다리문제는 이후 그래프 이론에 영향을 미친다.

4. 오일러의 공식

‘세상에서 가장 위대한 공식’ 순위에서 아인슈타인의 [eqn: E=mc ^{2}]을 이기고 당당히 1위를 차지한 공식으로, 내용은 다음과 같다.

"[eqn: e ^{ix} =cosx+i`sinx]"

우리가 흔히 알고 있는 [eqn: e ^{i pi } +1=0]은 오일러의 등식으로, 오일러의 공식에서 x=π일 때인 특수한 경우이다.

자연에 존재해온 ‘초월수’인 [eqn: e,` pi ,`i]에서 인류가 인위적으로 만들어낸 0,1과 같은 ‘숫자’간의 연결고리를 보여준다는 데서 이 식은 큰 의미를 가지고 있다. 인간이 자연에 한 발짝 더 접근할 수 있는 계기가 된 것이다. 영화 <박사가 사랑한 수식(2005)>에서도 등장한 적이 있는 유명한 공식이며, 워낙 많이 다뤄지는 내용이기 때문에 나는 다음 번호의 내용에 주목했다.

5. 바젤 문제와 오일러 곱

수학계의 끝판왕 문제라고 불리며, 정수론의 최종보스이자, 20세기 힐베르트의 문제와 21세기의 밀레니엄 문제 둘 모두에 선정된 유일한 문제인 리만 가설이라는 최악의 난제가 있다. 이 리만 가설의 주재료인 리만 제타 함수라는 함수가 있는데, 제타 함수의 시작이 된 문제가 바로 바젤 문제이다. 스위스 바젤 대학에 재직하던 야곱 베르누이와 요한 베르누이에 의해 제기된 것으로, 바젤 문제의 내용은 다음과 같다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {n ^{2}} =1+ {1} over {2 ^{2}} + {1} over {3 ^{2}} + {1} over {4 ^{2}} + {1} over {5 ^{2}} +` CDOTS .]

당시 많은 수학자들은 자연수의 역수의 무한합이 발산한다는 것을 알고 있었지만, 제곱의 역수의 무한합을 나타내는 바젤 문제의 정답을 알지는 못했던 것이다. 하지만 1735년, 오일러가 테일러 급수를 이용해 위 식의 값이 [eqn: {pi ^{2}} over {6}]에 수렴함을 증명하였고, 1741년에 증명을 보완하여 엄밀한 증명을 완성했다. 자연수들의 간단한 조합으로 이루어진 급수가 원주율인 [eqn: pi]와 관련이 있다는 바젤 문제의 정답은 당대 수학자들에게 신선한 충격을 불러일으켰고, 오일러 자신조차 정답을 예측하지 못했을 만큼 신기한 결과였다.

바젤문제를 일반화한 것이 바로 아래 식으로, 리만 제타 함수라고 한다.

[eqn: zeta (s)= sum _{n=1} ^{INF } {1} over {n ^{s}} = {1} over {1 ^{s}} + {1} over {2 ^{s}} + {1} over {3 ^{s}} +` CDOTS .]

(참고로 ‘리만 제타 함수 [eqn: zeta (s)=0]을 만족하는 모든 자명하지 않은 근의 실수부는 [eqn: {1} over {2}]이다’를 리만 가설이라고 한다.)

오일러는 리만 제타 함수의 값이 0이상의 모든 짝수일 때의 수렴값을 구하는 방법 또한 제시하였고, 그는 급수를 구하면서 이것이 소수에 대하여 다음과 같은 곱으로도 표현이 될 수 있음을 발견하였다.

[eqn: zeta (s)= prod _{p} ^{} = {1} over {1-p ^{-s}} = {1} over {1-2 ^{-s}} TIMES {1} over {1-3 ^{-s}} TIMES {1} over {1-5 ^{-s}} TIMES {1} over {1-7 ^{-s}} CDOTS {1} over {1-p ^{-s}} CDOTS]

따라서 아래 식이 성립하고, 이를 오일러 곱셈 공식이라고 부른다.

[eqn: zeta (s)= sum _{n=1} ^{INF } {1} over {n ^{s}} = prod _{p} ^{} {1} over {1-p ^{-s}}]

그의 이러한 시도들은 수론의 주제로 여겨졌던 소수를 해석학쪽으로 가져올 수 있었다는 큰 의미가 있으며, 소수의 규칙성을 분석하는데 미분과 같은 해석학의 강력한 무기를 사용할 수가 있다는 말이 된다. 그가 아니었다면 어쩌면 리만 가설과 같이 무시무시한 가설은 등장하지 않았을 지도 모른다.

이처럼 그의 연구 분야가 워낙 범위가 넓고 방대하여 그는 유명한 미해결 문제에서는 빠지지 않고 꼭 언급되는 약방의 감초와 같은 인물이다. 예를 들자면 영화 <페르마의 밀실>에서도 다뤄졌던 ‘4이상의 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다’라는 유명한 난제인 골드바흐의 추측은 골드바흐가 오일러에게 쓴 편지에서 등장하였다. 이외에도 해밀턴의 사원수 발견 또한 오일러가 먼저 발견했으나 대수롭지 않게 여겼다고 한다.

이처럼 엄청난 업적을 달성한 오일러는 이후 수학자들의 존경대상이 되었으며, 그를 칭송하기 위해 남긴 몇 마디가 있는데, 유명한 것을 적자면

‘오일러를 읽고 또 읽어라. 그는 우리 모두의 스승이다.’ - 피에르시몽 라플라스

‘비유할 필요도, 과장할 필요도 없이 오일러는 해석학의 화신이다. 마치 사람이 숨을 쉬는 것 처럼 또 독수리가 공중에 떠 있는 것 처럼 그는 아무 힘을 들이지 않고 계산을 해냈다.’ - 프랑수아 아라고

‘오일러는 그 시대의 가장 위대한 거장이다.’ - 존 폰 노이만

그는 여전히 인류 역사에서 손꼽히는 위대한 수학자 중 한명이고, 칭송받아 마땅한 업적을 남겼다. 하지만 나는 결과만을 보고서 위대한 수학자로서의 오일러의 모습 말고도, 두 눈의 시력을 잃어 맹인이 되면서까지 연구를 지속하며, 자신이 하고 싶은 일에 매진해 역사에 길이 남을 업적을 달성한 인간승리의 주인공으로서의 오일러의 모습 또한 많은 사람들이 알아주었으면 한다.